數學史上的第四次危機:無限循環小數悖論(0.999...=1)
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導語:說到數學史上三大重要危機,大家應該都有所耳聞。但是說到第四次可能很多人都摸不着頭腦,實際上第四次危機爆發時間至今已經20多年了,不過當時因爲網絡不發達的緣故,所以不爲人所知,下面小編帶大家深刻了解一下。
數學史上的第四次危機
第四次數學危機準確來說是數論,主要是說數論的研究對象不僅僅是數。假如有一門學科分別研究:人、樹、花,那麼這門學科叫花學,相應理論稱爲花論,實際上這並不合理,主要討論的還是第三次數學危機,有關集合論的相關問題。
集合的類名用集合中的元素命名實際上並不十分合理,雖然強行命名沒有太大的關係,但是有些地方還是比較奇怪。
無限循環小數悖論
無限循環小數是小學數學中的一些知識,在很多時候會出現除不盡的情況,比如
1&pide;9 = 0.111111…(數字1無限循環)
1&pide;3 = 0.333333…(數字3無限循環)
1&pide;1.3 = 0.769230769230769230…(數字串769230無限循環)
無限循環小數具有特殊的性質:
(1)它的循環體至少有一位數字;
(2)它沒有最後一位,永遠寫不到頭。
無限循環小數0.999…更是奇怪。現有的數學體系既能證明它等於1,又能證明它不等於1。
我們首先證明無限循環小數0.999…等於1。
數學課本上寫着:無限循環小數可以轉化爲分數
0.111… = 1/9 (1)
兩邊同時乘以9,得
0.999… = 9/9 (2)
故有
0.999… = 1 (3)
證畢。
現在,我們再證明無限循環小數 0.999… 不等於1。
設 n 是無限循環小數0.999…中9的個數,根據數學歸納法
n = 1時,0.9 ≠ 1成立;
n = 2時,0.99 ≠ 1成立;
n = 3時,0.999 ≠ 1成立;
……
n = ∞時,0.999… ≠ 1成立;
於是
0.999… ≠ 1 (4)
證畢。
這兩種辦法都是現在數學中比較嚴謹的證明方法,但是得出的結論卻截然不同,互相矛盾,這一悖論被稱爲“無限循環小數悖論”。這一悖論的出現嚴重影響了當代數學,並且帶來了比較嚴重的危機,甚至給摧毀當代數學體系。
結語:在人類數學的發展中,一共出現了三次比較嚴重的危機,每一次都爲數學帶來了更多的發展,可以預見經過這次悖論,數學將更加發展進步。
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